Fondamenti della meccanica atomica
Si è dunque in un caso di degenerazione: gli autovalori sono doppi (eccetto l'autovalore O).
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La relazione di completezza (nel caso dello spettro continuo) è:
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Anche nel caso generale la (53) e la (54) si potrebbero facilmente mettere sotto forma trigonometrica.
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e la relazione di completezza (51) si scrive in questo caso
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D'altra parte l'incertezza su x ed y è data in questo caso dalle dimensioni dell'orbita, cioè
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Siccome poi n, nel caso più favorevole, ha il valore 1, si ritrovano le relazioni (94').
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In tal caso essi sarebbero legati assai più intimamente che non nell'atomo di idrogeno.
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(1) In casi di degenerazione potranno le due energie essere uguali: anche in tal caso però richiederemo che e siano ortogonali (v. § 6). Questo caso
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Il caso più generale è quello in cui vi sono autovalori discreti e autovalori continui, nel qual caso la sarà la somma di una serie e di un integrale
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Ciò premesso, nel nostro caso la (131') diviene l'equazione a derivate ordinarie
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Nella trattazione ondulatoria, dovremo invece osservare che in questo caso e sono immaginari: perciò porremo
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Passiamo ora al caso in cui la E non ha un valore determinato (ossia il sistema non è in uno stato stazionario o quantico): in questo caso la è
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invece, la curva può avere due aspetti diversi secondo che la forza viva E supera o no . Nel primo caso è reale e quindi la curva è di forma
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a) Caso di . In tal caso e sono reali, e perciò il secondo membro della (199) si può scrivere
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b) Caso di . In questo caso, che è il più interessante per le applicazioni, e quindi sono immaginari, cosicchè scriveremo
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Polinomi di Legendre. Consideriamo l'equazione (235) dapprima nel caso di , nel qual caso la Y non dipende da e si identifica (a meno di un fattore
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cioè una costante: la u dunque in tal caso dipende solo da r (simmetria sferica).
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Caso di .
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In questo caso l'equazione (258), per x tendente a , tende alla forma
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Se si opera come nel caso precedente, ponendo
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In tal caso si ha dalla espressione di e dalla (218):
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ed è quindi uguale a zero salvo il caso che l'esponente si annulli, cioè che sia , nel qual caso l'integrale è uguale ad 1. Similmente, il secondo
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Se poi si vogliono estendere queste considerazioni anche al caso che siano numeri complessi, è opportuno sostituire le formule precedenti con le
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formule relative al caso di p = 1, avvertendo che per passare al caso generale basta sostituire ogni indice con un gruppo di p indici, e ogni
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l'estensione immediata del caso precedente porterebbe a definire come F () l'o. l.
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Naturalmente il prodotto di due matrici non è commutativo, eccettuato il caso che i due operatori corrispondenti siano permutabili, nel qual caso
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Trasformiamo questa espressione in operatore, come si è fatto nel caso di una sola particella, sostituendo
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come nel caso di una particella sola.
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Si noti che, mentre nel caso di una sola particella la rappresenta delle onde, fittizie, ma nello spazio ordinario, nel caso di N particelle non si
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Osserviamo subito che se si applica questa regola generale al caso in cui l'osservabile G è l'energia di una particella, o di un sistema di
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Il caso dell'operatore incompleto si può far rientrare nel precedente, considerando p infinito.
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In modo analogo si ragiona per il caso che entrambi gli operatori siano degeneri o incompleti, nel qual caso il legame tra i risultati delle due
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Se tutti i sistemi dell'insieme che consideriamo sono nello stesso «stato», si dice che l'insieme rappresenta un caso puro, altrimenti si dirà che è
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Supporremo però in ogni caso che non contenga esplicitamente t, il che si esprime dicendo che la perturbazione è «indipendente dal tempo»: il caso
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Merita considerazione separata il caso limite della degenerazione completa, cioè che si tratti non di un multipletto ma addirittura di un livello
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Applichiamo i risultati del § precedente al caso in cui la forza perturbatrice è funzione sinusoidale del tempo, di frequenza v: tale caso si
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Nel primo caso si ha dunque , vale a dire lo spin è diretto con certezza nel verso dell'asse z, nel secondo caso e lo spin è diretto con certezza nel
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Nel caso generale, si trova che la magnetizzazione equivalente è data, nella stessa approssimazione, da
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Si osservi ora che nel caso attuale l'hamiltoniano si riduce (v. form. (274)) a
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Nel primo caso le equazioni danno (, mentre restano arbitrarie (salvo l'ortogonalità e la normalizzazione) e si possono prendere uguali a 1 e a 0
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Passando ora al caso di , conviene prendere come soluzioni fondamentali
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precisamente il valore . Tenendo poi presenti i limiti entro cui può variare m, si vede che Nz, può variare, nel caso (338), da a e, nel caso (341), da a
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troviamo, sia nell'un caso che nell'altro
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Trattiamo dapprima il caso della soluzione (338) cioè di e cerchiamo gli autovalori (per il parametro ) e le autofunzioni delle equazioni (340
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nel qual caso si dice antisimmetrica.
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(1) Il caso si verifica quando le due nuvole di probabilità rappresentate dalle funzioni non hanno punti in comune: in tal caso a ciascuno dei due
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Il caso, finora escluso, che le due particelle abbiano gli stessi numeri quantici , non dà luogo a degenerazione: si ha quindi in tal caso una unica
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(1) Il caso corrisponde al caso in cui l'integrale di scambio è nullo; v. nota al paragrafo precedente.
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(2) Se si tien conto delle forze dovute agli spin, questo livello triplo si scinde a sua volta in tre livelli semplici, eccettuato il caso che
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Si ha in tal caso una riflessione selettiva.
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Accademia della crusca
